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Teorema de los ceros conjugados

Informalmente, el teorema de los ceros conjugados enuncia que todos los ceros complejos de funciones polinomiales con coeficientes reales siempre vienen en pares.  Teorema (Ceros conjugados) Si \(z\) es un cero de un polinomio con coeficientes reales entonces el conjugado de \(z\), \(\overline{z}\), también lo es. Este teorema junto con el Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) nos permite realizar ciertas observaciones: Existen polinomios con coeficientes reales que no se pueden factorizar mediante factores lineales en \(\mathbb{R}\), como por ejemplo, \(x^4+1\), a estos polinomios los llamaremos irreducibles en los reales. Todo polinomio se puede factorizar mediante factores lineales en \(\mathbb{C}\) por el TFA, por tanto se dice que todo polinomio es reducible en \(\mathbb{C}\). Sin embargo, el anterior teorema nos permite demostrar que todo polinomio se puede escribir como producto de polinomios irreducibles en \(\mathbb{R}\) de grado 1 o 2. Esto se conoce como el Teorema de fa...
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Regla de Descartes de los signos y limites superior e inferior para raíces reales

En algunos casos, la regla siguiente descubierta por el filósofo y matemático francés René Descartes hacia 1637 es útil para eliminar candidatos de listas largas de posibles raíces racionales. 

Concepto previo: Variación de signo

Consideremos un polinomio escrito en forma descendente (omitiendo potencias con coeficiente 0), entonces una variación de signo se presenta cuando dos coeficientes de monomios adyacentes tienen signos contrarios. La variación total de signo del polinomio es el número total de variaciones de signo presentes en el polinomio. 

Ejemplo. Considere el polinomio \[p(x)=2x^6-3x^4-x^3+x-1,\] entonces la variación de signo total de \(p\) es 3.

Regla de Descartes de los signos: 

Sea \(P\) función polinomial con coeficientes reales, entonces

1. El número de ceros reales positivos de \(P\) es igual al número de variaciones de signo de \(P(x)\) o es menor a esta cantidad en un número entero par.

2. El número de ceros reales negativos de \(P\) es igual al número de variaciones de signo de \(P(-x)\) o es menor a esta cantidad en un número entero par.

Mediante esta regla se puede calcular el número total de ceros reales que posee un polinomio. ¿Cómo?

Teorema de los límites superior e inferior para raíces reales

Sea \(P\) una función polinomial con coeficientes reales, entonces 

1. Si al dividir \(\frac{P(x)}{x-b},\) con \(b>0\) mediante división sintética resuelta que el reglón resultado tanto el cociente como del residuo no tienen entradas negativas, entonces \(b\) es un límite superior para los ceros reales de \(P\), es decir,

\[c\leq b\text{ para todo }c\text{ un cero del polinomio } P.\]

2. Si al dividir \(\frac{P(x)}{x-a},\) con \(a<0\) mediante división sintética resuelta que el reglón resultado tanto el cociente como del residuo tiene entradas con signos alternados, entonces \(a\) es un límite inferior para los ceros reales de \(P\), es decir,

\[c\geq a\text{ para todo }c\text{ un cero del polinomio } P.\]

En lo anterior, si en el reglón resultado de la división sintética sale un coeficiente 0, entonces se considera que 0 es positivo o negativo según se requiera. 

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