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Teorema de los ceros conjugados

Informalmente, el teorema de los ceros conjugados enuncia que todos los ceros complejos de funciones polinomiales con coeficientes reales siempre vienen en pares.  Teorema (Ceros conjugados) Si \(z\) es un cero de un polinomio con coeficientes reales entonces el conjugado de \(z\), \(\overline{z}\), también lo es. Este teorema junto con el Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) nos permite realizar ciertas observaciones: Existen polinomios con coeficientes reales que no se pueden factorizar mediante factores lineales en \(\mathbb{R}\), como por ejemplo, \(x^4+1\), a estos polinomios los llamaremos irreducibles en los reales. Todo polinomio se puede factorizar mediante factores lineales en \(\mathbb{C}\) por el TFA, por tanto se dice que todo polinomio es reducible en \(\mathbb{C}\). Sin embargo, el anterior teorema nos permite demostrar que todo polinomio se puede escribir como producto de polinomios irreducibles en \(\mathbb{R}\) de grado 1 o 2. Esto se conoce como el Teorema de fa...
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Teorema del Residuo y del Factor

 Empezamos esta sección con el Teorema del Residuo, el cual establece lo siguiente:


TEOREMA DEL RESIDUO:


Sea \(P\) una función polinomial. Si \(P\) se divide entre \(x-c\), entonces el residuo obtenido de dicha división es \(P(c)\).


Este  teorema nos muestra que la división sintética puede ser utilizada para evaluar polinomios fácilmente y para encontrar residuos de divisiones sintéticas complicadas. 


Otro teorema importante es el Teorema del Factor:


TEOREMA DEL FACTOR:


\(c\) es un cero de \(P\) si y sólo si \(x-c\) es un factor de \(P(x)\).


Por lo tanto, el teorema del factor puede ayudarnos a encontrar factores de un polinomio, lo cual puede facilitar enormemente la factorización del polinomio. En el siguiente video hablaremos de dichos teoremas y presentaremos algunos ejercicios.

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